微分積分学準備例

$\sin^{2} (x) = 3 \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $3 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$\sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3

$- \cos^{2} (x)$ から $3 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$1 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4

多項式を並べ替えます。

$- 4 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 4 \cos^{2} (x) = - 1$

ステップ 6

$- 4 \cos^{2} (x) = - 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$- 4 \cos^{2} (x) = - 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 6.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 8

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 8.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 8.3

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 8.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 9

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 9.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 11

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 11.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 11.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 11.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 11.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 11.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 11.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 11.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 11.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 11.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 12.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 12.4

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 12.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 12.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 12.4.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 12.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

解をまとめます。

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ステップ 14.1

$\frac{4 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14.2

$\frac{2 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

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