微分積分学準備例

$2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = \frac{1}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$2 (\frac{1}{16}) + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{2 (8)} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.5

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + \frac{1^{3}}{2^{3}} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{2^{3}} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.8

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.11

$- 17$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{- 17}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.13.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 6$

ステップ 4.1.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 6$

ステップ 4.1.13.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} - 2 + 6$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 2 + 6 + \frac{1 + 1}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.3

公分母を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2}{1} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.3.2

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.3.3

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.3.4

$6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6}{1} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.3.5

$\frac{6}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.3.6

$\frac{6}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

ステップ 4.3.7

$\frac{- 17}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.3.8

$\frac{- 17}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.3.9

$4 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.3.10

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{8}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 8 + 6 \cdot 8 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 16 + 6 \cdot 8 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

ステップ 4.5.2

$6$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 16 + 48 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

ステップ 4.5.3

$- 17$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 16 + 48 + 2 - 34}{8}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 16$ と $48$ をたし算します。

$\frac{32 + 2 - 34}{8}$

ステップ 4.6.2

$32$ と $2$ をたし算します。

$\frac{34 - 34}{8}$

ステップ 4.6.3

$34$ から $34$ を引きます。

$\frac{0}{8}$

ステップ 4.6.4

$0$ を $8$ で割ります。

$0$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x - \frac{1}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{1}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(1)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$
	$2$	$2$

ステップ 6.5

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 17)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$
	$2$	$2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$
	$2$	$2$	$- 16$

ステップ 6.7

結果 $(- 16)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(- 8)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$
	$2$	$2$	$- 16$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$

ステップ 6.9

結果 $(- 12)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$	$- 6$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$	$- 6$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{3} + 2 x^{2} + (- 16) x - 12$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$2 x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 12$

ステップ 7

$2$ を $2 x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 12$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 x^{2} - 16 x - 12)$

ステップ 7.2

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (x^{2}) - 16 x - 12)$

ステップ 7.3

$2$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 8 x) - 12)$

ステップ 7.4

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot - 6)$

ステップ 7.5

$2$ を $2 (x^{3}) + 2 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 \cdot - 6)$

ステップ 7.6

$2$ を $2 (x^{3} + x^{2}) + 2 (- 8 x)$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 6)$

ステップ 7.7

$2$ を $2 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 6$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 6))$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

有理根検定を用いて $2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

ステップ 8.1.3

$0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 8.1.3.1

$0.5$ を多項式に代入します。

$2 \cdot {0.5}^{4} + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.2

$0.5$ を $4$ 乗します。

$2 \cdot 0.0625 + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.3

$2$ に $0.0625$ をかけます。

$0.125 + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.4

$0.5$ を $3$ 乗します。

$0.125 + 0.125 - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.5

$0.125$ と $0.125$ をたし算します。

$0.25 - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.6

$0.5$ を $2$ 乗します。

$0.25 - 17 \cdot 0.25 - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.7

$- 17$ に $0.25$ をかけます。

$0.25 - 4.25 - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.8

$0.25$ から $4.25$ を引きます。

$- 4 - 4 \cdot 0.5 + 6$

ステップ 8.1.3.9

$- 4$ に $0.5$ をかけます。

$- 4 - 2 + 6$

ステップ 8.1.3.10

$- 4$ から $2$ を引きます。

$- 6 + 6$

ステップ 8.1.3.11

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

ステップ 8.1.4

$0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6}{2 x - 1}$

ステップ 8.1.5

$2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ を $2 x - 1$ で割ります。

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ステップ 8.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

ステップ 8.1.5.2

被除数 $2 x^{4}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

ステップ 8.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 8.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{4} - x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 8.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

ステップ 8.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

ステップ 8.1.5.7

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

ステップ 8.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

ステップ 8.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

ステップ 8.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

ステップ 8.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

ステップ 8.1.5.12

被除数 $- 16 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

ステップ 8.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

ステップ 8.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 16 x^{2} + 8 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

ステップ 8.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

ステップ 8.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

ステップ 8.1.5.17

被除数 $- 12 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

ステップ 8.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

ステップ 8.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 12 x + 6$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

ステップ 8.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

$0$

ステップ 8.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$

ステップ 8.1.6

$2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) (x^{3} + x^{2} - 8 x - 6) = 0$

ステップ 8.2

有理根検定を用いて $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

有理根検定を用いて $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 8.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 8.2.1.3

$- 3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.3.1

$- 3$ を多項式に代入します。

${(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 - 6$

ステップ 8.2.1.3.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 + {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 - 6$

ステップ 8.2.1.3.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 27 + 9 - 8 \cdot - 3 - 6$

ステップ 8.2.1.3.4

$- 27$ と $9$ をたし算します。

$- 18 - 8 \cdot - 3 - 6$

ステップ 8.2.1.3.5

$- 8$ に $- 3$ をかけます。

$- 18 + 24 - 6$

ステップ 8.2.1.3.6

$- 18$ と $24$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 8.2.1.3.7

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 8.2.1.4

$- 3$ は既知の根なので、多項式を $x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 6}{x + 3}$

ステップ 8.2.1.5

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ を $x + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

ステップ 8.2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$

ステップ 8.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 8.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 8.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 8.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 8.2.1.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 8.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 8.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} - 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 8.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$

ステップ 8.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$

ステップ 8.2.1.5.12

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$

ステップ 8.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	-	$6$

ステップ 8.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x - 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$

ステップ 8.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$
										$0$

ステップ 8.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x - 2$

ステップ 8.2.1.6

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 2 x - 2)) = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

ステップ 10

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 10.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 11

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 12

$x^{2} - 2 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x^{2} - 2 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

ステップ 12.2

$x$ について $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 12.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

ステップ 12.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.4.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.4.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

ステップ 12.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{3}$

ステップ 12.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.5.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.5.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

ステップ 12.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{3}$

ステップ 12.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

ステップ 13

最終解は $(2 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 3, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1}{2}, - 3, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

10進法形式：

$x = 0.5, - 3, 2.73205080 \dots, - 0.73205080 \dots$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例