微分積分学準備例

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , $f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ です。

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{3}{x^{2}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{3}{x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + h)}^{2} x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{3}{x^{2}}$ に $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

${(x + h)}^{2} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$3$ を $3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (x^{2}) - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$3$ を $- 3 {(x + h)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = x + h$ です。

$\frac{\frac{3 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

簡約します。

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ステップ 4.1.5.3.1

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.4

$0$ から $h$ を引きます。

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.5

負をくくり出します。

$\frac{\frac{3 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

指数をまとめます。

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ステップ 4.1.5.4.1

負をくくり出します。

$\frac{\frac{- (3 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 3 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

$h$ を $- 3 (2 x + h) h$ で因数分解します。

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- 3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例