微分積分学準備例

$P (x) = 3 x^{3} + 4 x^{2} - x - 2$

ステップ 1

$3 x^{3} + 4 x^{2} - x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{3} + 4 x^{2} - x - 2 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $3 x^{3} + 4 x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

ステップ 2.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$3 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 1 - 2$

ステップ 2.1.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot - 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 1 - 2$

ステップ 2.1.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 + 4 {(- 1)}^{2} + 1 - 2$

ステップ 2.1.1.3.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 3 + 4 \cdot 1 + 1 - 2$

ステップ 2.1.1.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 3 + 4 + 1 - 2$

ステップ 2.1.1.3.6

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$1 + 1 - 2$

ステップ 2.1.1.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 2.1.1.3.8

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} - x - 2}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.5

$3 x^{3} + 4 x^{2} - x - 2$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$3 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$3 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$3 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$3 x^{2} + x - 2$

ステップ 2.1.1.6

$3 x^{3} + 4 x^{2} - x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (3 x^{2} + x - 2) = 0$

ステップ 2.1.2

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$(x + 1) (3 x^{2} + 1 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.2.1.1.2

$1$ を $- 2$ プラス $3$ に書き換える

$(x + 1) (3 x^{2} + (- 2 + 3) x - 2) = 0$

ステップ 2.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) ((3 x^{2} - 2 x) + 3 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) (x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.2.1.3

最大公約数 $3 x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) ((3 x - 2) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (3 x - 2) (x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 2.5

最終解は $(x + 1) (3 x - 2) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, \frac{2}{3}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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