微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ として書き換えます。

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{3} - 1 = 2 x$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{3} = 2 x + 1$

ステップ 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ が $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

ステップ 5.2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

ステップ 5.2.3.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

ステップ 5.2.3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

ステップ 5.2.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ を展開します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6

項を簡約します。

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ステップ 5.2.6.1

$x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.6.1.1

$x \cdot 1$ と $- 1 x$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.1.2

$1 x$ から $1 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.6.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.6.2.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.2.6.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.2.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.6.3.1

$x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.6.3.1.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.3.1.2

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

ステップ 5.2.6.3.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.6.3.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

ステップ 5.2.6.3.2.2

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.2.7

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

ステップ 5.3.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ であり、 $b = 1$ です。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

ステップ 5.3.3.3

簡約します。

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ステップ 5.3.3.3.1

${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

ステップ 5.3.3.3.2

$\sqrt[3]{2 x + 1}$ に $1$ をかけます。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

ステップ 5.3.3.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ は $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

微分積分学準備 例

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