微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{y}{2 y + 1} = x$ として書き換えます。

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y + 1, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$2 y + 1, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 y + 1$

ステップ 3.3

$\frac{y}{2 y + 1} = x$ の各項に $2 y + 1$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{y}{2 y + 1} = x$ の各項に $2 y + 1$ を掛けます。

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2 y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$y = x (2 y + 1)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

ステップ 3.3.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = 2 x y + x \cdot 1$

ステップ 3.3.3.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = 2 x y + x$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$y - 2 x y = x$

ステップ 3.4.2

$y$ を $y - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

ステップ 3.4.2.2

$y$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

ステップ 3.4.2.3

$y$ を $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$y (1 - 2 x) = x$

ステップ 3.4.3

$y (1 - 2 x) = x$ の各項を $1 - 2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$y (1 - 2 x) = x$ の各項を $1 - 2 x$ で割ります。

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$1 - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ が $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $\frac{x}{2 x + 1}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.4.5

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.4.6

因数分解した形で $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ を書き換えます。

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ステップ 5.2.4.6.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.4.6.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

ステップ 5.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

ステップ 5.2.6

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

$2 x + 1$ を $1 (2 x + 1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

ステップ 5.2.6.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

ステップ 5.2.6.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$2$ と $\frac{x}{1 - 2 x}$ をまとめます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

ステップ 5.3.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

ステップ 5.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

ステップ 5.3.4.4

項を並べ替えます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

ステップ 5.3.6

$- 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

ステップ 5.3.7

$\frac{x}{1 - 2 x}$ に $- 2 x + 1$ をかけます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

ステップ 5.3.8

$- 2 x + 1$ と $1 - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

項を並べ替えます。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

ステップ 5.3.8.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

ステップ 5.3.8.3

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ は $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

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