微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{3 y + 1}{y - 2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $y - 2$ を掛けます。

$(y - 2) (x) = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$y x - 2 x = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y x - 2 x = \frac{3 y + 1}{y - 2} (y - 2)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y x - 2 x = 3 y + 1$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$y x - 2 x - 3 y = 1$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$y x - 3 y = 1 + 2 x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $y x - 3 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) - 3 y = 1 + 2 x$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot - 3 = 1 + 2 x$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y (x) + y \cdot - 3$ で因数分解します。

$y (x - 3) = 1 + 2 x$

ステップ 3.4.4

$y (x - 3) = 1 + 2 x$ の各項を $x - 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (x - 3) = 1 + 2 x$ の各項を $x - 3$ で割ります。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ が $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{(\frac{3 x + 1}{x - 2}) - 3}$

ステップ 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{1 + 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$

ステップ 5.2.3.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3)}$

ステップ 5.2.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.5

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.5.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$x - 2$ を $(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) \cdot 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1.1

$x - 2$ を $(x - 2) \cdot 1$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1) + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.1.2

$x - 2$ を $(x - 2) (1) + (x - 2) (2 \frac{3 x + 1}{x - 2})$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.2

$2$ と $\frac{3 x + 1}{x - 2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2 + 2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.5

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.6

因数分解した形で $\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.6.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.6.4

$x$ と $6 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.6.5

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 0}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.6.6.6

$7 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

ステップ 5.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3}$

ステップ 5.2.7.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3}$

ステップ 5.2.7.3

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x + 6}$

ステップ 5.2.7.4

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{0 + 1 + 6}$

ステップ 5.2.7.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{1 + 6}$

ステップ 5.2.7.6

$1$ と $6$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{7}$

ステップ 5.2.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$\frac{7 x}{x - 2}$ を $\frac{(x - 2) \frac{7 x}{x - 2}}{7}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

ステップ 5.2.8.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.2.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

ステップ 5.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

ステップ 5.2.8.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.2.8.3

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.2.8.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1 + 2 x}{x - 3})$ の値を求めます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{(\frac{1 + 2 x}{x - 3}) - 2}$

ステップ 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$\frac{3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$

ステップ 5.3.3.2

まとめる。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2)}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.5

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$x - 3$ を $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + (x - 3) \cdot 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1.1

$x - 3$ を $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.1.2

$x - 3$ を $(x - 3) \cdot 1$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) (1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.1.3

$x - 3$ を $(x - 3) (3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) (1)$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.2

$3$ と $\frac{1 + 2 x}{x - 3}$ をまとめます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x) + x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.5

項を並べ替えます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.6

因数分解した形で $\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.6.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.6.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.6.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 6 x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.6.4

$x$ と $6 x$ をたし算します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 3 - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.6.5

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 0}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.6.6.6

$7 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

ステップ 5.3.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2}$

ステップ 5.3.7.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2}$

ステップ 5.3.7.3

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x + 6}$

ステップ 5.3.7.4

$1$ と $6$ をたし算します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{2 x - 2 x + 7}$

ステップ 5.3.7.5

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{0 + 7}$

ステップ 5.3.7.6

$0$ と $7$ をたし算します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{7}$

ステップ 5.3.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

$\frac{7 x}{x - 3}$ を $\frac{(x - 3) \frac{7 x}{x - 3}}{7}$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

ステップ 5.3.8.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.2.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

ステップ 5.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

ステップ 5.3.8.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

ステップ 5.3.8.3

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

ステップ 5.3.8.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ は $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

微分積分学準備 例

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