微分積分学準備例

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 5$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4 x^{2} + 8 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 1.1.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

ステップ 1.1.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 1.1.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

ステップ 1.2

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ を方程式 $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 5$ の中の $4 x^{2} + 8 x$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 6 y = 5$

ステップ 1.3

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 6 y = 5 + 4$

ステップ 1.4

$3 y^{2} - 6 y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

ステップ 1.4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

ステップ 1.4.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{3}$

ステップ 1.4.3.2.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

ステップ 1.4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

ステップ 1.4.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

ステップ 1.4.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.4.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.4.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{12}$

ステップ 1.4.4.2.1.3

$36$ を $12$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 3$

ステップ 1.4.4.2.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - 3$

ステップ 1.4.4.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$e = - 3$

ステップ 1.4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(y - 1)}^{2} - 3$ に代入します。

$3 {(y - 1)}^{2} - 3$

ステップ 1.5

$3 {(y - 1)}^{2} - 3$ を方程式 $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 5$ の中の $3 y^{2} - 6 y$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} - 3 = 5 + 4$

ステップ 1.6

両辺に $3$ を加えて、 $- 3$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 5 + 4 + 3$

ステップ 1.7

$5 + 4 + 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$5$ と $4$ をたし算します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 9 + 3$

ステップ 1.7.2

$9$ と $3$ をたし算します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 12$

ステップ 1.8

各項を $12$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

ステップ 1.9

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{3} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = \sqrt{3}$

$k = 1$

$h = - 1$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 1, 1)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{4 - 3}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{1}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 1 + 2)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(- 1, 3)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 1 - (2))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- 1, - 1)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 1 + 1)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(- 1, 2)$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 1 - (1))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- 1, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

ステップ 8.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

ステップ 8.3.4

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

ステップ 8.3.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

偏心： $\frac{1}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例