微分積分学準備例

$y^{2} + 2 y - x = 0$

ステップ 1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 y - x = - y^{2}$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$- x = - y^{2} - 2 y$

ステップ 2

$- x = - y^{2} - 2 y$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- x = - y^{2} - 2 y$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

ステップ 2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

ステップ 2.3.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$x = y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1}$

ステップ 2.3.1.3

$\frac{- 2 y}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x = y^{2} - 1 \cdot (- 2 y)$

ステップ 2.3.1.4

$- 1 \cdot (- 2 y)$ を $- (- 2 y)$ に書き換えます。

$x = y^{2} - (- 2 y)$

ステップ 2.3.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x = y^{2} + 2 y$

ステップ 3

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 3.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$y^{2} + 2 y$ の平方完成。

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ステップ 3.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 3.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 3.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.1.1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 3.1.1.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 3.1.1.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 3.1.1.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 3.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + 1)}^{2} - 1$ に代入します。

${(y + 1)}^{2} - 1$

ステップ 3.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = {(y + 1)}^{2} - 1$

ステップ 3.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - 1$

ステップ 3.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 3.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 1, - 1)$

ステップ 3.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 3.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 3.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 3.6

焦点を求めます。

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ステップ 3.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 3.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{3}{4}, - 1)$

ステップ 3.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 1$

ステップ 3.8

準線を求めます。

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ステップ 3.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 3.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{5}{4}$

ステップ 3.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 1, - 1)$

焦点： $(- \frac{3}{4}, - 1)$

対称軸： $y = - 1$

準線： $x = - \frac{5}{4}$

方向：右に開

頂点： $(- 1, - 1)$

焦点： $(- \frac{3}{4}, - 1)$

対称軸： $y = - 1$

準線： $x = - \frac{5}{4}$

ステップ 4

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $0$ を $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ に代入します。この場合、点は $(0, 0)$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

ステップ 4.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - 1 + \sqrt{1}$

ステップ 4.1.2.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (0) = - 1 + 1$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 4.1.3

$0$ を10進数に変換します。

$= 0$

ステップ 4.2

$x$ 値の $0$ を $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ に代入します。この場合、点は $(0, - 2)$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

ステップ 4.2.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - 1 - \sqrt{1}$

ステップ 4.2.2.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (0) = - 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (0) = - 1 - 1$

ステップ 4.2.2.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f (0) = - 2$

ステップ 4.2.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 4.2.3

$- 2$ を10進数に変換します。

$= - 2$

ステップ 4.3

$x$ 値の $1$ を $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ に代入します。この場合、点は $(1, 0.41421356)$ です。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

括弧を削除します。

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

ステップ 4.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - 1 + \sqrt{2}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $- 1 + \sqrt{2}$ です。

$y = - 1 + \sqrt{2}$

ステップ 4.3.3

$- 1 + \sqrt{2}$ を10進数に変換します。

$= 0.41421356$

ステップ 4.4

$x$ 値の $1$ を $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ に代入します。この場合、点は $(1, - 2.41421356)$ です。

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ステップ 4.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

ステップ 4.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

括弧を削除します。

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

ステップ 4.4.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4.4.2.3

最終的な答えは $- 1 - \sqrt{2}$ です。

$y = - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4.4.3

$- 1 - \sqrt{2}$ を10進数に変換します。

$= - 2.41421356$

ステップ 4.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

ステップ 5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 1, - 1)$

焦点： $(- \frac{3}{4}, - 1)$

対称軸： $y = - 1$

準線： $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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