微分積分学準備例

$3 x^{2} + 6 y^{2} = 18$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $18$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{3 x^{2}}{18} + \frac{6 y^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{6}$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{6^{1} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{6 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{6 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{6 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{6 - 3^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{6 - 1 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{6 - 3}$

ステップ 5.3.3.2

$6$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{3}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \sqrt{6}, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(\sqrt{6}, 0)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\sqrt{6}), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- \sqrt{6}, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \sqrt{3}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(\sqrt{3}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\sqrt{3}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- \sqrt{3}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{6^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{6 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{6 - 3^{1}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{6 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6 - 3}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.1.4

$6$ から $3$ を引きます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{6}$ を単一根にまとめます。

$\sqrt{\frac{3}{6}}$

ステップ 8.3.3

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 (1)}{6}}$

ステップ 8.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.3.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.3.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 8.3.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 8.3.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.7.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 8.3.7.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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