微分積分学準備例

$x y = 9$ , $x^{2} + y^{2} = 82$

ステップ 1

$x y = 9$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x y = 9$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

ステップ 1.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

ステップ 2

各方程式の $x$ のすべての発生を $\frac{9}{y}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2} + y^{2} = 82$ の $x$ のすべての発生を $\frac{9}{y}$ で置き換えます。

${(\frac{9}{y})}^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の法則を $\frac{9}{y}$ に当てはめます。

$\frac{9^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 2.2.1.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ の $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.2

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ の各項に $y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ の各項に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.2.2.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$81 + y^{2 + 2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $82 y^{2}$ を引きます。

$81 + y^{4} - 82 y^{2} = 0$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.2

$u = y^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 82 u + 81 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 82 u + 81$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $81$ で、その和が $- 82$ です。

$- 81, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 81 = 0$

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.5

$u - 81$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$u - 81$ が $0$ に等しいとします。

$u - 81 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.5.2

方程式の両辺に $81$ を足します。

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.6

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.7

最終解は $(u - 81) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 81, 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.8

$u = y^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$y^{2} = 81$

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.9

$y$ について第1方程式を解きます。

$y^{2} = 81$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.10

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{81}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.10.2

$\pm \sqrt{81}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.2.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{9^{2}}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.10.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 9$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.10.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 9$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.10.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.11

$y$ について二次方程式を解きます。

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.12

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.12.1

括弧を削除します。

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.12.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \pm 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.12.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.12.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.12.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.12.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 3.3.13

$y^{4} - 82 y^{2} + 81 = 0$ の解は $y = 9, - 9, 1, - 1$ です。

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

ステップ 4

各方程式の $y$ のすべての発生を $9$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $9$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$9$ を $9$ で割ります。

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

ステップ 5

各方程式の $y$ のすべての発生を $- 9$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $- 9$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$9$ を $- 9$ で割ります。

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

ステップ 6

各方程式の $y$ のすべての発生を $9$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $9$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$9$ を $9$ で割ります。

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

ステップ 7

各方程式の $y$ のすべての発生を $- 9$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $- 9$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$9$ を $- 9$ で割ります。

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

ステップ 8

各方程式の $y$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$9$ を $1$ で割ります。

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

ステップ 9

各方程式の $y$ のすべての発生を $9$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $9$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$9$ を $9$ で割ります。

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

ステップ 10

各方程式の $y$ のすべての発生を $- 9$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $- 9$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$9$ を $- 9$ で割ります。

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

ステップ 11

各方程式の $y$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$9$ を $1$ で割ります。

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

ステップ 12

各方程式の $y$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x = \frac{9}{y}$ の $y$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$x = \frac{9}{- 1}$

$y = - 1$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$9$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

ステップ 13

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, 9)$

$(- 1, - 9)$

$(9, 1)$

$(- 9, - 1)$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

点の形：

$(1, 9), (- 1, - 9), (9, 1), (- 9, - 1)$

方程式の形：

$x = 1, y = 9$

$x = - 1, y = - 9$

$x = 9, y = 1$

$x = - 9, y = - 1$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例