微分積分学準備例

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{6}{\sqrt{x}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{6}{\sqrt{y}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{6}{\sqrt{y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{6}{\sqrt{y}} = x$

ステップ 3.2

たすき掛けします。

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ステップ 3.2.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$x \cdot (\sqrt{y}) = 6$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ に $\sqrt{y}$ をかけます。

$x \sqrt{y} = 6$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(x \sqrt{y})}^{2} = 6^{2}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

積の法則を $x y^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} y^{1} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

簡約します。

$x^{2} y = 6^{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x^{2} y = 36$

ステップ 3.5

$x^{2} y = 36$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$x^{2} y = 36$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{36}{x^{2}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ が $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{x}})}^{2}}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

積の法則を $\frac{6}{\sqrt{x}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

ステップ 5.2.3.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

ステップ 5.2.3.3

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

ステップ 5.2.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

ステップ 5.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

ステップ 5.2.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

ステップ 5.2.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

ステップ 5.2.3.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

ステップ 5.2.5

$36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

ステップ 5.2.5.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{36}{x^{2}})$ の値を求めます。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.4.2

$\frac{6^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{6}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

ステップ 5.3.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

ステップ 5.3.6

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{36}{x^{2}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ は $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$

微分積分学準備 例

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