微分積分学準備例

$\sqrt{\sqrt{x - 5} + x} = 5$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\sqrt{x - 5} + x}}^{2} = 5^{2}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sqrt{x - 5} + x}$ を ${(\sqrt{x - 5} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(\sqrt{x - 5} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(\sqrt{x - 5} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({(\sqrt{x - 5} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\sqrt{x - 5} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(\sqrt{x - 5} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(\sqrt{x - 5} + x)}^{1} = 5^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$\sqrt{x - 5} + x = 5^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{x - 5} + x = 25$

ステップ 3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\sqrt{x - 5} = 25 - x$

ステップ 4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x - 5}}^{2} = {(25 - x)}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 5}$ を ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(25 - x)}^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(25 - x)}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(25 - x)}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 5)}^{1} = {(25 - x)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

簡約します。

$x - 5 = {(25 - x)}^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

${(25 - x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

${(25 - x)}^{2}$ を $(25 - x) (25 - x)$ に書き換えます。

$x - 5 = (25 - x) (25 - x)$

ステップ 5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(25 - x) (25 - x)$ を展開します。

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ステップ 5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x - 5 = 25 (25 - x) - x (25 - x)$

ステップ 5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x - 5 = 25 \cdot 25 + 25 (- x) - x (25 - x)$

ステップ 5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x - 5 = 25 \cdot 25 + 25 (- x) - x \cdot 25 - x (- x)$

ステップ 5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.3.1.1

$25$ に $25$ をかけます。

$x - 5 = 625 + 25 (- x) - x \cdot 25 - x (- x)$

ステップ 5.3.1.3.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$x - 5 = 625 - 25 x - x \cdot 25 - x (- x)$

ステップ 5.3.1.3.1.3

$25$ に $- 1$ をかけます。

$x - 5 = 625 - 25 x - 25 x - x (- x)$

ステップ 5.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x - 5 = 625 - 25 x - 25 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

ステップ 5.3.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x - 5 = 625 - 25 x - 25 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

ステップ 5.3.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x - 5 = 625 - 25 x - 25 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 5.3.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x - 5 = 625 - 25 x - 25 x + 1 x^{2}$

ステップ 5.3.1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x - 5 = 625 - 25 x - 25 x + x^{2}$

ステップ 5.3.1.3.2

$- 25 x$ から $25 x$ を引きます。

$x - 5 = 625 - 50 x + x^{2}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$625 - 50 x + x^{2} = x - 5$

ステップ 6.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$625 - 50 x + x^{2} - x = - 5$

ステップ 6.2.2

$- 50 x$ から $x$ を引きます。

$625 + x^{2} - 51 x = - 5$

ステップ 6.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$625 + x^{2} - 51 x + 5 = 0$

ステップ 6.4

$625$ と $5$ をたし算します。

$x^{2} - 51 x + 630 = 0$

ステップ 6.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 51 x + 630$ を因数分解します。

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ステップ 6.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $630$ で、その和が $- 51$ です。

$- 30, - 21$

ステップ 6.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 30) (x - 21) = 0$

ステップ 6.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 30 = 0$

$x - 21 = 0$

ステップ 6.7

$x - 30$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.7.1

$x - 30$ が $0$ に等しいとします。

$x - 30 = 0$

ステップ 6.7.2

方程式の両辺に $30$ を足します。

$x = 30$

ステップ 6.8

$x - 21$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.8.1

$x - 21$ が $0$ に等しいとします。

$x - 21 = 0$

ステップ 6.8.2

方程式の両辺に $21$ を足します。

$x = 21$

ステップ 6.9

最終解は $(x - 30) (x - 21) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 30, 21$

ステップ 7

$\sqrt{\sqrt{x - 5} + x} = 5$ が真にならない解を除外します。

$x = 21$

微分積分学準備 例

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