微分積分学準備例

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})}^{2}}$

ステップ 1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}})}^{2}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

ステップ 3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

ステップ 3.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

ステップ 3.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}})}^{2}}$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}^{2}}$

ステップ 3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

ステップ 3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

ステップ 3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}})}^{2}}$

ステップ 3.6.5

簡約します。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}$

ステップ 4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

ステップ 4.2

積の法則を $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

ステップ 4.3

積の法則を $(1 + x) (1 - x)$ に当てはめます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{1}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.1.5

簡約します。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x \cdot x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - (x \cdot x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 0 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 5.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$1 + x$ と ${(1 + x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$1 + x$ を $x^{2} (1 + x) (1 - x)$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$1 + x$ を ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x)}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 6.2

$1 - x$ と ${(1 - x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$1 - x$ を $x^{2} (1 - x)$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$1 - x$ を $(1 + x) {(1 - x)}^{2}$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.1.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\sqrt{\frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1 + 0}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 7.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 8

$\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 9

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 10

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 11

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 11.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 11.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

ステップ 11.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

ステップ 11.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

ステップ 11.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 11.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

ステップ 11.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例