微分積分学準備例

$x^{2} - 4 y^{2} = 4$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $4$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{4 y^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{4 + 1}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(2, 0), (- 2, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

ステップ 8.3.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

ステップ 11

$\frac{1}{2} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2} x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{1}{2} x$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{2}$

ステップ 12

$- \frac{1}{2} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$- \frac{1}{2} x$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{1}{2} x$

ステップ 12.2

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{2}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(2, 0), (- 2, 0)$

焦点： $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{5}}{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{5}}{5}$

漸近線： $y = \frac{x}{2}$ 、 $y = - \frac{x}{2}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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