微分積分学準備例

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y - 89 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $89$ を足します。

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$

ステップ 1.2

$16 x^{2} - 64 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 64$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 64$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 32}{16}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 32$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$16$ を $- 32$ で因数分解します。

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$16$ を $16$ で因数分解します。

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 64$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4096$ を $64$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$e = 0 - 64$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$e = - 64$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ に代入します。

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

ステップ 1.3

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$ を方程式 $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ の中の $16 x^{2} - 64 x$ に代入します。

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} - 18 y = 89$

ステップ 1.4

両辺に $64$ を加えて、 $- 64$ を方程式の右辺に移動させます。

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 18 y = 89 + 64$

ステップ 1.5

$- 9 y^{2} - 18 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 9$

$b = - 18$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (- 9)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 9}{- 9}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 9}{- 9}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 18$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$324$ を $- 36$ で割ります。

$e = 0 - - 9$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 + 9$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$e = 9$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ に代入します。

$- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$

ステップ 1.6

$- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ を方程式 $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ の中の $- 9 y^{2} - 18 y$ に代入します。

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} + 9 = 89 + 64$

ステップ 1.7

両辺に $9$ を加えて、 $9$ を方程式の右辺に移動させます。

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 89 + 64 - 9$

ステップ 1.8

$89 + 64 - 9$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$89$ と $64$ をたし算します。

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 153 - 9$

ステップ 1.8.2

$153$ から $9$ を引きます。

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 144$

ステップ 1.9

各項を $144$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = 2$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(2, - 1)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + 16}$

ステップ 5.3.3

$9$ と $16$ をたし算します。

$\sqrt{25}$

ステップ 5.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{5^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$5$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(5, - 1)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, - 1)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(5, - 1), (- 1, - 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(7, - 1)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 3, - 1)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(7, - 1), (- 3, - 1)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

ステップ 8.3.3

$9$ と $16$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

ステップ 8.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5}{3}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{4^{2}}{5}$

ステップ 9.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16}{5}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

ステップ 11.2

$\frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

ステップ 11.2.1.4

$\frac{4}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$\frac{4}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot - 2}{3} - 1$

ステップ 11.2.1.4.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8}{3} - 1$

ステップ 11.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1$

ステップ 11.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 11.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 3}{3}$

ステップ 11.2.5.2

$- 8$ から $3$ を引きます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

ステップ 12.2

$- \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

ステップ 12.2.1.4

$- \frac{4}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3}) - 1$

ステップ 12.2.1.4.2

$2$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} - 1$

ステップ 12.2.1.4.3

$2$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} - 1$

ステップ 12.2.1.5

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1$

ステップ 12.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 12.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 3}{3}$

ステップ 12.2.5.2

$8$ から $3$ を引きます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(2, - 1)$

頂点： $(5, - 1), (- 1, - 1)$

焦点： $(7, - 1), (- 3, - 1)$

偏心： $\frac{5}{3}$

焦点のパラメータ： $\frac{16}{5}$

漸近線： $y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$ 、 $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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