微分積分学準備例

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 x - y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を $3$ で割ります。

$x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{3} = 0$

ステップ 2

$x^{2} + 2 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 1)}^{2} - 1$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} - 1$

ステップ 3

${(x + 1)}^{2} - 1$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{3} = 0$ の中の $x^{2} + 2 x$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - \frac{y}{3} = 0$

ステップ 4

両辺に $1$ を加えて、 $- 1$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - \frac{y}{3} = 0 + 1$

ステップ 5

$y^{2} - \frac{y}{3}$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - \frac{1}{3}$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 1$ と $1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.1.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

ステップ 5.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2.3

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$d = - \frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.3.2.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$d = - \frac{1}{6}$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{9})}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.6

$\frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4}$

ステップ 5.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.4.2.1.4

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.4.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{9 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2.1.4.2

$9$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{36}$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{36}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{36}$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ に代入します。

${(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$

ステップ 6

${(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{3} = 0$ の中の $y^{2} - \frac{y}{3}$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36} = 0 + 1$

ステップ 7

両辺に $\frac{1}{36}$ を加えて、 $- \frac{1}{36}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = 0 + 1 + \frac{1}{36}$

ステップ 8

$0 + 1 + \frac{1}{36}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ と $1$ をたし算します。

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = 1 + \frac{1}{36}$

ステップ 8.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{36}{36} + \frac{1}{36}$

ステップ 8.3

公分母の分子をまとめます。

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{36 + 1}{36}$

ステップ 8.4

$36$ と $1$ をたし算します。

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{37}{36}$

ステップ 9

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 10

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = \frac{\sqrt{37}}{6}$

$h = - 1$

$k = \frac{1}{6}$

ステップ 11

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(- 1, \frac{1}{6})$

ステップ 12

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 1, \frac{1}{6})$

半径： $\frac{\sqrt{37}}{6}$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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