微分積分学準備例

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{144} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{144} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 4$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + {(12)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$12$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + 144}$

ステップ 5.3.3

$16$ と $144$ をたし算します。

$\sqrt{160}$

ステップ 5.3.4

$160$ を $4^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$16$ を $160$ で因数分解します。

$\sqrt{16 (10)}$

ステップ 5.3.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{4^{2} \cdot 10}$

ステップ 5.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$4 \sqrt{10}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 4)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 4)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(0, 4), (0, - 4)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 4 \sqrt{10})$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 4 \sqrt{10})$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(0, 4 \sqrt{10}), (0, - 4 \sqrt{10})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}}{4}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 + 12^{2}}}{4}$

ステップ 8.3.1.2

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 + 144}}{4}$

ステップ 8.3.1.3

$16$ と $144$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{160}}{4}$

ステップ 8.3.1.4

$160$ を $4^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.4.1

$16$ を $160$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{16 (10)}}{4}$

ステップ 8.3.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 10}}{4}$

ステップ 8.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

ステップ 8.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

ステップ 8.3.2.2

$\sqrt{10}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{10}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{12^{2}}{4 \sqrt{10}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{144}{4 \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.2

$144$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$4$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.2.1

$4$ を $4 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 36}{4 (\sqrt{10})}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{36}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.3

$\frac{36}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{36}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.4.1

$\frac{36}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{36 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.4.2

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.4.3

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

ステップ 9.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

ステップ 9.3.4.6

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{36 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{1}}$

ステップ 9.3.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{36 \sqrt{10}}{10}$

ステップ 9.3.5

$36$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.5.1

$2$ を $36 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{10}$

ステップ 9.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.5.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 (5)}$

ステップ 9.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

ステップ 9.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{1}{3} x + 0$

ステップ 11

$\frac{1}{3} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{3} x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{1}{3} x$

ステップ 11.2

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{3}$

ステップ 12

$- \frac{1}{3} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$- \frac{1}{3} x$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{1}{3} x$

ステップ 12.2

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{3}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{x}{3}, y = - \frac{x}{3}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(0, 4), (0, - 4)$

焦点： $(0, 4 \sqrt{10}), (0, - 4 \sqrt{10})$

偏心： $\sqrt{10}$

焦点のパラメータ： $\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

漸近線： $y = \frac{x}{3}$ 、 $y = - \frac{x}{3}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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