微分積分学準備例

$\sqrt{1 + {(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 1

${(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ を $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ に書き換えます。

$\sqrt{1 + (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 + x^{3} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{1 + x^{3 + 3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.1.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{1 + x^{6} - x^{3} \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.3

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x^{3}$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.3.2

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.3.3

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.3.4

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.4

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$- \frac{1}{4 x^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.4.2

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.4.3

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.4.4

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

ステップ 3.1.6

$- \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})$ を掛けます。

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ステップ 3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4 x^{3}} \frac{1}{4 x^{3}}}$

ステップ 3.1.6.2

$\frac{1}{4 x^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3}} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}}$

ステップ 3.1.6.3

$\frac{1}{4 x^{3}}$ に $\frac{1}{4 x^{3}}$ をかけます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3} (4 x^{3})}}$

ステップ 3.1.6.4

$4$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3} x^{3}}}$

ステップ 3.1.6.5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.6.5.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 (x^{3} x^{3})}}$

ステップ 3.1.6.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3 + 3}}}$

ステップ 3.1.6.5.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{4}$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$\sqrt{1 + x^{6} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.1.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.1.1.3

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.1.1.4

式を書き換えます。

$\sqrt{1 + x^{6} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.1.2

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{x^{6} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{x^{6} + \frac{2 - 1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.2.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 4.2.4

項を並べ替えます。

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{16 x^{6}} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 5.2

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

ステップ 5.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{16 x^{6}}}$

ステップ 5.4

$16 x^{6}$ を ${(4 x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

ステップ 5.5

$\frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ を ${(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 5.6

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$\frac{1}{2} = 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}$

ステップ 5.7

多項式を書き換えます。

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 5.8

$a = x^{3}$ と $b = \frac{1}{4 x^{3}}$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\sqrt{{(x^{3} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 6

$x^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ を掛けます。

$\sqrt{{(x^{3} \cdot \frac{4 x^{3}}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$x^{3}$ と $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ をまとめます。

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3})}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3} x^{3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 8.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\sqrt{{(\frac{4 (x^{3} x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3 + 3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 8.2.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

積の法則を $\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

ステップ 9.2

積の法則を $4 x^{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{4^{2} {(x^{3})}^{2}}}$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 {(x^{3})}^{2}}}$

ステップ 10.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{3 \cdot 2}}}$

ステップ 10.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{6}}}$

ステップ 11

$16 x^{6}$ を ${(4 x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

ステップ 12

$\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ を ${(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

ステップ 13

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$

微分積分学準備 例

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