微分積分学準備例

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

ステップ 1.3.2

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (9)$ をまとめます。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

ステップ 2.2

$\ln (9)$ を $\ln (3^{2})$ に書き換えます。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

ステップ 2.3

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{2})$ を展開します。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

ステップ 2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

ステップ 2.4.2

$\ln (3)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

ステップ 3

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{2} + 6 x = 3$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

ステップ 4.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.3

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = - 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2.2

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.3

$36$ と $12$ をたし算します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.1.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.3

$\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

ステップ 4.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

ステップ 5

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ が真にならない解を除外します。

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

10進法形式：

$x = 0.46410161 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例