微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} = 25$ , $x + y = 8$

ステップ 1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x = 8 - y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

ステップ 2

各方程式の $x$ のすべての発生を $8 - y$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2} + y^{2} = 25$ の $x$ のすべての発生を $8 - y$ で置き換えます。

${(8 - y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(8 - y)}^{2} + y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

${(8 - y)}^{2}$ を $(8 - y) (8 - y)$ に書き換えます。

$(8 - y) (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(8 - y) (8 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$8 (8 - y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1.1

$8$ に $8$ をかけます。

$64 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$64 - 8 y - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$64 - 8 y - 8 y - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1.5.1

$y$ を移動させます。

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$64 - 8 y - 8 y + 1 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$- 8 y$ から $8 y$ を引きます。

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

ステップ 3

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$64 - 16 y + 2 y^{2} - 25 = 0$

$x = 8 - y$

ステップ 3.1.2

$64$ から $25$ を引きます。

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.3

$a = 2$ 、 $b = - 16$ 、および $c = 39$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 39)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.2.2

$- 8$ に $39$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.3

$256$ から $312$ を引きます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.4

$- 56$ を $- 1 (56)$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.5

$\sqrt{- 1 (56)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.7

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.7.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.4.3

$\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.2.2

$- 8$ に $39$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.3

$256$ から $312$ を引きます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.4

$- 56$ を $- 1 (56)$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.5

$\sqrt{- 1 (56)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.7

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.7.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.3

$\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 8$ に $39$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.3

$256$ から $312$ を引きます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.4

$- 56$ を $- 1 (56)$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.5

$\sqrt{- 1 (56)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.7

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.7.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.3

$\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

ステップ 4

各方程式の $y$ のすべての発生を $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 8 - y$ の $y$ のすべての発生を $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ で置き換えます。

$x = 8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 4.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 5

各方程式の $y$ のすべての発生を $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x = 8 - y$ の $y$ のすべての発生を $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ で置き換えます。

$x = 8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 5.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 6

すべての解をまとめます。

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}, y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}, y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例