微分積分学準備例

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

ステップ 1.2

$x^{2} + 4 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1.2.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 2)}^{2} - 4$ に代入します。

${(x + 2)}^{2} - 4$

ステップ 1.3

${(x + 2)}^{2} - 4$ を方程式 $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ の中の $x^{2} + 4 x$ に代入します。

${(x + 2)}^{2} - 4 + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

ステップ 1.4

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 4 + 4$

ステップ 1.5

$4 y^{2} - 8 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

ステップ 1.6

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$ を方程式 $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ の中の $4 y^{2} - 8 y$ に代入します。

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

ステップ 1.7

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

ステップ 1.8

$- 4 + 4 + 4$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 0 + 4$

ステップ 1.8.2

$0$ と $4$ をたし算します。

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

ステップ 1.9

各項を $4$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + {(y - 1)}^{2} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = - 2$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 2, 1)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{4 - 1}$

ステップ 5.3.4

$4$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{3}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2 + 2, 1)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 1)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2 - (2), 1)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- 4, 1)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

ステップ 7.3

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2 - (\sqrt{3}), 1)$

ステップ 7.5

簡約します。

$(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 - 1^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 1}}{2}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 - 1}}{2}$

ステップ 8.3.4

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 2, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

偏心： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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