微分積分学準備例

$x^{3} - 2 x^{2} - 25 x + 50$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 25, \pm 50$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 25, \pm 50$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 25 \cdot 2 + 50$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 2 {(2)}^{2} - 25 \cdot 2 + 50$

ステップ 4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 2 \cdot 4 - 25 \cdot 2 + 50$

ステップ 4.1.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$8 - 8 - 25 \cdot 2 + 50$

ステップ 4.1.4

$- 25$ に $2$ をかけます。

$8 - 8 - 50 + 50$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$0 - 50 + 50$

ステップ 4.2.2

$0$ から $50$ を引きます。

$- 50 + 50$

ステップ 4.2.3

$- 50$ と $50$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 25 x + 50}{x - 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$
	$1$	$0$

ステップ 6.5

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 25)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$
	$1$	$0$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

ステップ 6.7

結果 $(- 25)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(- 50)$ の結果を被除数 $(50)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$	$- 50$
	$1$	$0$	$- 25$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 2$	$- 25$	$50$
		$2$	$0$	$- 50$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 0 x - 25$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 25$

ステップ 7

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) x^{2} - 5^{2}$

ステップ 8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$(x - 2) (x + 5) (x - 5)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 2 x^{2}) - 25 x + 50 = 0$

ステップ 9.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 2) - 25 (x - 2) = 0$

ステップ 9.2

最大公約数 $x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 2) (x^{2} - 25) = 0$

ステップ 9.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 9.4

因数分解。

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ステップ 9.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$(x - 2) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

ステップ 9.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 2) (x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 11

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 13

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 14

最終解は $(x - 2) (x + 5) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 5, 5$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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