微分積分学準備例

$x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 16 x - 192 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

項を再分類します。

$- x^{3} + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

ステップ 1.2

$- x^{2}$ を $- x^{3} + 4 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$- x^{2}$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- x^{2} x + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

ステップ 1.2.2

$- x^{2}$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 4 + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

ステップ 1.2.3

$- x^{2}$ を $- x^{2} (x) - x^{2} (- 4)$ で因数分解します。

$- x^{2} (x - 4) + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

ステップ 1.3

有理根検定を用いて $x^{4} - 16 x - 192$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

ステップ 1.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

ステップ 1.3.3

$4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $4$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.3.1

$4$ を多項式に代入します。

$4^{4} - 16 \cdot 4 - 192$

ステップ 1.3.3.2

$4$ を $4$ 乗します。

$256 - 16 \cdot 4 - 192$

ステップ 1.3.3.3

$- 16$ に $4$ をかけます。

$256 - 64 - 192$

ステップ 1.3.3.4

$256$ から $64$ を引きます。

$192 - 192$

ステップ 1.3.3.5

$192$ から $192$ を引きます。

$0$

ステップ 1.3.4

$4$ は既知の根なので、多項式を $x - 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 16 x - 192}{x - 4}$

ステップ 1.3.5

$x^{4} - 16 x - 192$ を $x - 4$ で割ります。

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ステップ 1.3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

ステップ 1.3.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

ステップ 1.3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

ステップ 1.3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - 4 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

ステップ 1.3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

ステップ 1.3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.3.5.7

被除数 $4 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

ステップ 1.3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{3} - 16 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

ステップ 1.3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

ステップ 1.3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

ステップ 1.3.5.12

被除数 $16 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

ステップ 1.3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

ステップ 1.3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $16 x^{2} - 64 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

ステップ 1.3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

ステップ 1.3.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

ステップ 1.3.5.17

被除数 $48 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

ステップ 1.3.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

ステップ 1.3.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $48 x - 192$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

ステップ 1.3.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

$0$

ステップ 1.3.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48$

ステップ 1.3.6

$x^{4} - 16 x - 192$ を因数の集合として書き換えます。

$- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

ステップ 1.4

$x - 4$ を $- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1

$x - 4$ を $- x^{2} (x - 4)$ で因数分解します。

$(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

ステップ 1.4.2

$x - 4$ を $(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ で因数分解します。

$(x - 4) (- x^{2} + x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

ステップ 1.5

$- x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$(x - 4) (x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

ステップ 1.6

因数分解。

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ステップ 1.6.1

因数分解した形で $x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48$ を書き換えます。

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ステップ 1.6.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.6.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 4) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 16 x + 48) = 0$

ステップ 1.6.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 4) (x^{2} (x + 3) + 16 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.6.1.2

最大公約数 $x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} + 16)) = 0$

ステップ 1.6.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

ステップ 3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5

$x^{2} + 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2} + 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 16 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} + 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} = - 16$

ステップ 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

ステップ 5.2.3

$\pm \sqrt{- 16}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

ステップ 5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

ステップ 5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

ステップ 5.2.3.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

ステップ 5.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 4$

ステップ 5.2.3.6

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 4 i$

ステップ 5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4 i$

ステップ 5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4 i$

ステップ 5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4 i, - 4 i$

ステップ 6

最終解は $(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 3, 4 i, - 4 i$

微分積分学準備 例

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