微分積分学準備例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{4} (2 x + 1)}$

ステップ 1

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2}$ を $x^{4} (2 x + 1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

ステップ 1.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x + 1)}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1}$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

ステップ 2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2}}$

ステップ 2.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2}}$

ステップ 2.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2}}$

ステップ 2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{1 + 2} + x^{2}}$

ステップ 2.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{3} + x^{2}}$

ステップ 3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{3}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 4.2.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

ステップ 4.2.2

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}}}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

ステップ 4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

ステップ 4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 4.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 4.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

ステップ 6.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 6.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$0 - 1 \cdot 4$ と $2 + 0$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$0$ を $- 1 (0)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

ステップ 8.1.2

$- 1$ を $- 1 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (0) - 1 (4)}{2 + 0}$

ステップ 8.1.3

$- 1$ を $- 1 (0) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (0 + 4)}{2 + 0}$

ステップ 8.1.4

$2$ を $- 1 (0 + 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 + 0}$

ステップ 8.1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 (1) + 0}$

ステップ 8.1.5.2

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

ステップ 8.1.5.3

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

ステップ 8.1.5.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

ステップ 8.1.5.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (0 + 2)}{1 + 0}$

ステップ 8.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 2}{1 + 0}$

ステップ 8.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 2}{1}$

ステップ 8.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2}{1}$

ステップ 8.5

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2$

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