微分積分学準備例

$\sqrt{5 x + 4} - 1 = 2 x$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sqrt{5 x + 4} = 2 x + 1$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{5 x + 4}}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x + 4}$ を ${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(5 x + 4)}^{1} = {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$5 x + 4 = {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(2 x + 1)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(2 x + 1)}^{2}$ を $(2 x + 1) (2 x + 1)$ に書き換えます。

$5 x + 4 = (2 x + 1) (2 x + 1)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$5 x + 4 = 2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$5 x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$5 x + 4 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x + 4 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1$

ステップ 3.3.1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$5 x + 4 = 4 x^{2} + 4 x + 1$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 5 x + 4$

ステップ 4.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$4 x^{2} + 4 x + 1 - 5 x = 4$

ステップ 4.2.2

$4 x$ から $5 x$ を引きます。

$4 x^{2} - x + 1 = 4$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$4 x^{2} - x + 1 - 4 = 0$

ステップ 4.4

$1$ から $4$ を引きます。

$4 x^{2} - x - 3 = 0$

ステップ 4.5

群による因数分解。

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ステップ 4.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.5.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$4 x^{2} - (x) - 3 = 0$

ステップ 4.5.1.2

$- 1$ を $3$ プラス $- 4$ に書き換える

$4 x^{2} + (3 - 4) x - 3 = 0$

ステップ 4.5.1.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 = 0$

ステップ 4.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(4 x^{2} + 3 x) - 4 x - 3 = 0$

ステップ 4.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (4 x + 3) - (4 x + 3) = 0$

ステップ 4.5.3

最大公約数 $4 x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 x + 3) (x - 1) = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x + 3 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4.7

$4 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$4 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 3 = 0$

ステップ 4.7.2

$x$ について $4 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.7.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$4 x = - 3$

ステップ 4.7.2.2

$4 x = - 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.7.2.2.1

$4 x = - 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 4.7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.7.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 4.7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{4}$

ステップ 4.7.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{4}$

ステップ 4.8

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4.9

最終解は $(4 x + 3) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{3}{4}, 1$

ステップ 5

$\sqrt{5 x + 4} - 1 = 2 x$ が真にならない解を除外します。

$x = 1$

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