微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$ を方程式で書きます。

$y = 2 x^{2} + x - 6$

ステップ 2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$2 x^{2} + x - 6 = y$

ステップ 3

方程式の両辺に $6$ を足します。

$2 x^{2} + x = y + 6$

ステップ 4

平方を完成させます。

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ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0 = y + 6$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{8}$

ステップ 4.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{8}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = y + 6$

ステップ 5

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $\frac{1}{8}$ を足します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 + \frac{1}{8}$

ステップ 5.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.3

$6$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8 + 1}{8}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$6$ に $8$ をかけます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{48 + 1}{8}$

ステップ 5.5.2

$48$ と $1$ をたし算します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$

ステップ 6

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

ステップ 6.2.1.2

${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.1.2

$\frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$\frac{49}{8}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8 \cdot 2}$

ステップ 6.3.1.2.2

$8$ に $2$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{16}$

ステップ 7

因数分解。

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ステップ 7.1

$\frac{y}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

ステップ 7.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{y}{2}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

ステップ 7.2.2

$2$ に $8$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

ステップ 7.3

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 + 49}{16}$

ステップ 7.4

$8$ を $y$ の左に移動させます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{8 y + 49}{16}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y + 49)$

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