微分積分学準備例

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 4.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 4.1.4

$- 7$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 - 7 + 10$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3 - 7 + 10$

ステップ 4.2.2

$- 3$ から $7$ を引きます。

$- 10 + 10$

ステップ 4.2.3

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$
	$1$	$- 3$

ステップ 6.5

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 3)$ の結果を被除数 $(- 7)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$
	$1$	$- 3$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$
	$1$	$- 3$	$- 10$

ステップ 6.7

結果 $(- 10)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 10)$ の結果を被除数 $(10)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$1$	$- 3$	$- 10$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$1$	$- 3$	$- 10$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + - 3 x - 10$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 3 x - 10$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) + (x - 5) (x + 2)$

$(x - 1) (x - 5) (x + 2)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

ステップ 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

ステップ 8.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 8.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 8.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 8.1.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 4 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 8.1.3.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 8.1.3.5

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3 - 7 \cdot 1 + 10$

ステップ 8.1.3.6

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 3 - 7 + 10$

ステップ 8.1.3.7

$- 3$ から $7$ を引きます。

$- 10 + 10$

ステップ 8.1.3.8

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$0$

ステップ 8.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10}{x - 1}$

ステップ 8.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 8.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$10$

ステップ 8.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$

ステップ 8.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 8.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 8.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

ステップ 8.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$

ステップ 8.1.5.7

被除数 $- 3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$

ステップ 8.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 8.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 8.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$

ステップ 8.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$

ステップ 8.1.5.12

被除数 $- 10 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$

ステップ 8.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	+	$10$

ステップ 8.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x + 10$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	-	$10$

ステップ 8.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	-	$10$
										$0$

ステップ 8.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 3 x - 10$

ステップ 8.1.6

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

ステップ 8.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 8.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 8.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 8.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 10

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 11

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 12

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 13

最終解は $(x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 5, - 2$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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