微分積分学準備例

$f (x) = 2 \log_{3} (x - 1) - 3$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 3$ が未定義である場所を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2

対数を無視して、 $n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 1.3

$Q (x)$ が $1$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 1.4

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.5

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 1$

水平漸近線がありません

垂直漸近線： $x = 1$

水平漸近線がありません

ステップ 2

$x = 2$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 2 \log_{3} ((2) - 1) - 3$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = 2 \log_{3} (1) - 3$

ステップ 2.2.1.2

$1$ の対数の底 $3$ は $0$ です。

$f (2) = 2 \cdot 0 - 3$

ステップ 2.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (2) = 0 - 3$

ステップ 2.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f (2) = - 3$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 2.3

$- 3$ を10進数に変換します。

$y = - 3$

ステップ 3

$x = 4$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = 2 \log_{3} ((4) - 1) - 3$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$4$ から $1$ を引きます。

$f (4) = 2 \log_{3} (3) - 3$

ステップ 3.2.1.2

$3$ の対数の底 $3$ は $1$ です。

$f (4) = 2 \cdot 1 - 3$

ステップ 3.2.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f (4) = 2 - 3$

ステップ 3.2.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f (4) = - 1$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 3.3

$- 1$ を10進数に変換します。

$y = - 1$

ステップ 4

$x = 10$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f (10) = 2 \log_{3} ((10) - 1) - 3$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$10$ から $1$ を引きます。

$f (10) = 2 \log_{3} (9) - 3$

ステップ 4.2.1.2

$9$ の対数の底 $3$ は $2$ です。

$f (10) = 2 \cdot 2 - 3$

ステップ 4.2.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f (10) = 4 - 3$

ステップ 4.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$f (10) = 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4.3

$1$ を10進数に変換します。

$y = 1$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 1$ における垂直漸近線と点 $(2, - 3), (4, - 1), (10, 1)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 3 \\ 4 & - 1 \\ 10 & 1 \end{array}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例