微分積分学準備例

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

ステップ 3.2

両辺に $1 + 4^{y}$ を掛けます。

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$1 + 4^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x (1 + 4^{y})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

ステップ 3.3.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$x$ と $4^{y}$ を並べ替えます。

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

$x + 4^{y} x$ の因数を並べ替えます。

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $x \cdot 4^{y}$ を引きます。

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

ステップ 3.4.3

$4^{y}$ を $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$1$ を掛けます。

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

ステップ 3.4.3.2

$4^{y}$ を $- x \cdot 4^{y}$ で因数分解します。

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

ステップ 3.4.3.3

$4^{y}$ を $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ で因数分解します。

$4^{y} (1 - x) = x$

ステップ 3.4.4

$4^{y} (1 - x) = x$ の各項を $1 - x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$4^{y} (1 - x) = x$ の各項を $1 - x$ で割ります。

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$4^{y}$ を $1$ で割ります。

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

ステップ 3.4.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

ステップ 3.4.6

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (4^{y})$ を展開します。

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

ステップ 3.4.7

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ の各項を $\ln (4)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ の各項を $\ln (4)$ で割ります。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

ステップ 3.4.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.1

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

ステップ 3.4.7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ が $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.3.3

因数分解した形で $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

$4^{x}$ から $4^{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.3.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.4.2

$1 + 4^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.4.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.5

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (4^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.6

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

ステップ 5.2.6.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

ステップ 5.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

ステップ 5.3.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$- x$ と $x$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.5.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

ステップ 5.3.6

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ は $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

微分積分学準備 例

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