微分積分学準備例

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $[- 3, 1]$

ステップ 1

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $t$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

ステップ 2.2

式 $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ を $f (1)$ と $f (- 3)$ に代入し、関数の $t$ を対応する $t$ 値に置換します。

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

ステップ 3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分数の分子と分母に $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ に $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ をかけます。

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.3.2

${(- 3)}^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.3.2.2

${(- 3)}^{2} + 3$ を $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ で因数分解します。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.3.2.3

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.2

$9$ と $3$ をたし算します。

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.4

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.5

$12$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.7

$- 36$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.9

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.10

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.11

$9$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.12

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.13

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.14

$4 (- 5 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.14.1

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.14.2

$4$ に $10$ をかけます。

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.4.15

$- 72$ と $40$ をたし算します。

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.4

$9$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.5

$4 \cdot 12 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

$4$ に $12$ をかけます。

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.5.2

$48$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.7

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.8

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

ステップ 3.5.9

$9$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

ステップ 3.5.10

$4 \cdot 12 (- (- 3))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.10.1

$4$ に $12$ をかけます。

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

ステップ 3.5.10.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

ステップ 3.5.10.3

$48$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 32}{48 + 144}$

ステップ 3.5.11

$48$ と $144$ をたし算します。

$\frac{- 32}{192}$

ステップ 3.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 32$ と $192$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$32$ を $- 32$ で因数分解します。

$\frac{32 (- 1)}{192}$

ステップ 3.6.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$32$ を $192$ で因数分解します。

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

ステップ 3.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

ステップ 3.6.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{6}$

ステップ 3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例