微分積分学準備例

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ , $[4, 9]$

ステップ 1

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $t$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

ステップ 2.2

式 $y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ を $f (9)$ と $f (4)$ に代入し、関数の $t$ を対応する $t$ 値に置換します。

$\frac{(\frac{9}{\sqrt{9 + {(9)}^{2}}}) - (\frac{4}{\sqrt{9 + {(4)}^{2}}})}{(9) - (4)}$

ステップ 3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分数の分子と分母に $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$ に $\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}} \cdot \frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (9 - (4))}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt{9 + 9^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$\sqrt{9 + 9^{2}}$ を $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} (\sqrt{9 + 4^{2}}) \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.3.2

$\sqrt{9 + 4^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.3.2.2

$\sqrt{9 + 4^{2}}$ を $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + 16} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.2

$9$ と $16$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.5

$5$ に $9$ をかけます。

$\frac{45 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.6

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{45 + \sqrt{9 + 81} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.7

$9$ と $81$ をたし算します。

$\frac{45 + \sqrt{90} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.8

$90$ を $3^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$9$ を $90$ で因数分解します。

$\frac{45 + \sqrt{9 (10)} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.8.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{45 + \sqrt{3^{2} \cdot 10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.9

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{45 + 3 \sqrt{10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.4.10

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.3

$9$ と $81$ をたし算します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.4

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 16)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.5

$9$ と $16$ をたし算します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 \cdot 25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.6

$90$ に $25$ をかけます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{2250} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.7

$2250$ を $15^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1

$225$ を $2250$ で因数分解します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{225 (10)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.7.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{15^{2} \cdot 10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{15 \sqrt{10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.9

$9$ に $15$ をかけます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

ステップ 3.5.10

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

ステップ 3.5.11

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

ステップ 3.5.12

$9$ と $81$ をたし算します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 4^{2})} (- (4))}$

ステップ 3.5.13

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 16)} (- (4))}$

ステップ 3.5.14

$9$ と $16$ をたし算します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 \cdot 25} (- (4))}$

ステップ 3.5.15

$90$ に $25$ をかけます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{2250} (- (4))}$

ステップ 3.5.16

$2250$ を $15^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.16.1

$225$ を $2250$ で因数分解します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{225 (10)} (- (4))}$

ステップ 3.5.16.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{15^{2} \cdot 10} (- (4))}$

ステップ 3.5.17

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} (- (4))}$

ステップ 3.5.18

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} \cdot - 4}$

ステップ 3.5.19

$- 4$ に $15$ をかけます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} - 60 \sqrt{10}}$

ステップ 3.5.20

$135 \sqrt{10}$ から $60 \sqrt{10}$ を引きます。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

ステップ 3.6

$45 - 12 \sqrt{10}$ と $75$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$3$ を $45$ で因数分解します。

$\frac{3 (15) - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

ステップ 3.6.2

$3$ を $- 12 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

ステップ 3.6.3

$3$ を $3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})$ で因数分解します。

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

ステップ 3.6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$3$ を $75 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

ステップ 3.6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

ステップ 3.6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$

ステップ 3.7

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

ステップ 3.8

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

ステップ 3.8.2

$\sqrt{10}$ を移動させます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

ステップ 3.8.3

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

ステップ 3.8.4

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

ステップ 3.8.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.8.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{2}}$

ステップ 3.8.7

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.8.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.8.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.8.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.8.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{1}}$

ステップ 3.8.7.5

指数を求めます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10}$

ステップ 3.9

$25$ に $10$ をかけます。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{250}$

ステップ 3.10

分配則を当てはめます。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{250}$

ステップ 3.11

$- 4 \sqrt{10} \sqrt{10}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}{250}$

ステップ 3.11.2

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}{250}$

ステップ 3.11.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{250}$

ステップ 3.11.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{2}}{250}$

ステップ 3.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{250}$

ステップ 3.12.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{250}$

ステップ 3.12.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

ステップ 3.12.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

ステップ 3.12.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{1}}{250}$

ステップ 3.12.1.5

指数を求めます。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10}{250}$

ステップ 3.12.2

$- 4$ に $10$ をかけます。

$\frac{15 \sqrt{10} - 40}{250}$

ステップ 3.13

$15 \sqrt{10} - 40$ と $250$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$5$ を $15 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) - 40}{250}$

ステップ 3.13.2

$5$ を $- 40$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)}{250}$

ステップ 3.13.3

$5$ を $5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{250}$

ステップ 3.13.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.4.1

$5$ を $250$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 (50)}$

ステップ 3.13.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 \cdot 50}$

ステップ 3.13.4.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

10進法形式：

$0.02973665 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例