微分積分学準備例

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

ステップ 1

$f (x) = 3 x \ln (x)$ を方程式で書きます。

$y = 3 x \ln (x)$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

ステップ 2.2

式 $y = 3 x \ln (x)$ を $f (e^{2})$ と $f (1)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

対数の法則を利用して指数の外に $2$ を移動します。

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.5

$- 1 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.5.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.6

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.7

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.1.8

$6 e^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$

微分積分学準備 例

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