微分積分学準備例

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

ステップ 1

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

ステップ 2.2

式 $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ を $f (3)$ と $f (1)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

ステップ 3.2

分数の分子と分母に $3$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

ステップ 3.2.2

まとめる。

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.2

$9$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.6

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.7

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.9

$3 (- 0)$ を掛けます。

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ステップ 3.5.9.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.9.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.10

$2 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.6

分母を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.6.2

$3 (- (1))$ を掛けます。

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ステップ 3.6.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

ステップ 3.6.3

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

ステップ 3.7

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

10進法形式：

$0.47140452 \dots$

微分積分学準備 例

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