微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ for $1 \leq x \leq 3$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

ステップ 2.2

式 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ を $f (3)$ と $f (1)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{({(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3) - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{(3) - (1)}$

ステップ 3.2

分数の分子と分母に $3$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$

ステップ 3.2.2

まとめる。

$\frac{3 (3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 (3 - (1))}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1

$3$ に $3^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.5.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3^{1 + 2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3^{3} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.2

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{27 - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (0 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.6

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- - 3)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.7

$3 (- - 3)$ を掛けます。

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ステップ 3.5.7.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.7.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{27 - 1 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.8

$27$ から $1$ を引きます。

$\frac{26 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.9

$26$ から $9$ を引きます。

$\frac{17 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.5.10

$17$ と $9$ をたし算します。

$\frac{26}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.6

分母を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{26}{9 + 3 (- (1))}$

ステップ 3.6.2

$3 (- (1))$ を掛けます。

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ステップ 3.6.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{26}{9 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{26}{9 - 3}$

ステップ 3.6.3

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{26}{6}$

ステップ 3.7

$26$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1

$2$ を $26$ で因数分解します。

$\frac{2 (13)}{6}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{13}{3}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例