微分積分学準備例

$f (x) = - x^{2} - x + 1$ ;, $[2, \frac{7}{3}]$

ステップ 1

$f (x) = - x^{2} - x + 1$ を方程式で書きます。

$y = - x^{2} - x + 1$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (\frac{7}{3}) - f (2)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

ステップ 2.2

式 $y = - x^{2} - x + 1$ を $f (\frac{7}{3})$ と $f (2)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(- {(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{7}{3}) + 1) - (- {(2)}^{2} - (2) + 1)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $3$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3} - (2))}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$- \frac{7}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

ステップ 3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

積の法則を $\frac{7}{3}$ に当てはめます。

$\frac{3 (- \frac{7^{2}}{3^{2}}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$- \frac{7^{2}}{3^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3^{2}} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.2.2

$3$ を $3^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 7^{2}}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.3

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{- 1 \cdot 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.4

$- 1$ に $49$ をかけます。

$\frac{\frac{- 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.6

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.7

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 1 \cdot 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.7.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.7.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - 2 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.8

$- 4$ から $2$ を引きます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 6 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.9

$- 6$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- - 5)}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.10

$3 (- - 5)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.10.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 \cdot 5}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.10.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.11

$- 7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.12

$- 7$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{49}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 49 - 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.14

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.14.1

$- 7$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{- 49 - 21}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.14.2

$- 49$ から $21$ を引きます。

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.15

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.16

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 70}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 70 + 3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.18

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.18.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{- 70 + 9}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.18.2

$- 70$ と $9$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.19

$15$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.20

$15$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 61}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 61 + 15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.22

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.22.1

$15$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{- 61 + 45}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.22.2

$- 61$ と $45$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.4.23

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$3 (- (2))$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 \cdot - 2}$

ステップ 3.5.1.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 - 6}$

ステップ 3.5.2

$7$ から $6$ を引きます。

$\frac{- \frac{16}{3}}{1}$

ステップ 3.6

$- \frac{16}{3}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{16}{3}$

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