微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 3}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ です。

$\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} - (\frac{x - 1}{x + 3})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{x - 1}{x + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h + 3) (x + 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{x - 1}{x + 3}$ に $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ をかけます。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(x + h + 3) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x + h - 1) (x + 3)$ を展開します。

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

$3$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 \cdot h - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

$3 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x - - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x + 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- x + 1) (x + h + 3)$ を展開します。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.7.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.7.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.4

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$- 3 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 + 0 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{\frac{h x + 3 h - 3 - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12

$h x$ から $x h$ を引きます。

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ステップ 4.1.5.12.1

$h$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{3 h - 3 + x h - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12.2

$x h$ から $x h$ を引きます。

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.13

$3 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.14

$3 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 h - 3 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.15

$3 h$ と $h$ をたし算します。

$\frac{\frac{4 h - 3 + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.16

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{4 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.17

$4 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$h$ を $4 h$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{(x + 3) (x + h + 3)}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例