微分積分学準備例

What is the average rate of change of $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ over the interval $5 \leq x \leq 8$ ?

ステップ 1

$h (x) = \frac{1}{10 - x}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{10 - x}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (8) - f (5)}{(8) - (5)}$

ステップ 2.2

式 $y = \frac{1}{10 - x}$ を $f (8)$ と $f (5)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(\frac{1}{10 - (8)}) - (\frac{1}{10 - (5)})}{(8) - (5)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $(10 - (8)) (10 - (5))$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$ に $\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}$ をかけます。

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)} \cdot \frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (8 - (5))}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{10 - (8)} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

$10 - 1 \cdot 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{(10 - (8)) \cdot 1} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3.2

$10 - 1 \cdot 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$- \frac{1}{10 - (5)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3.2.2

$10 - 1 \cdot 5$ を $(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)$ で因数分解します。

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ を掛けます。

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3.2.5

式を書き換えます。

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{10 - 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.4.2

$10$ から $8$ を引きます。

$\frac{10 - 5 + 2 \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{10 - 5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.4.4

$10$ から $5$ を引きます。

$\frac{5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.4.5

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{3}{(10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.2

$10$ から $8$ を引きます。

$\frac{3}{2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{2 (10 - 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.4

$10$ から $5$ を引きます。

$\frac{3}{2 \cdot 5 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.5

$2 \cdot 5 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 3.5.5.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{10 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.5.2

$10$ に $8$ をかけます。

$\frac{3}{80 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.6

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{3}{80 + (10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.7

$10$ から $8$ を引きます。

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 5) (- (5))}$

ステップ 3.5.9

$10$ から $5$ を引きます。

$\frac{3}{80 + 2 \cdot 5 (- (5))}$

ステップ 3.5.10

$2 \cdot 5 (- (5))$ を掛けます。

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ステップ 3.5.10.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{80 + 10 (- (5))}$

ステップ 3.5.10.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{80 + 10 \cdot - 5}$

ステップ 3.5.10.3

$10$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{3}{80 - 50}$

ステップ 3.5.11

$80$ から $50$ を引きます。

$\frac{3}{30}$

ステップ 3.6

$3$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{30}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$3$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{10}$

微分積分学準備 例

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