微分積分学準備例

$f (x) = 2 {(x - 2)}^{2} + 1$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 2 {((x + h) - 2)}^{2} + 1$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

${(x + h - 2)}^{2}$ を $(x + h - 2) (x + h - 2)$ に書き換えます。

$f (x + h) = 2 ((x + h - 2) (x + h - 2)) + 1$

ステップ 2.1.2.1.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x + h - 2) (x + h - 2)$ を展開します。

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

ステップ 2.1.2.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

ステップ 2.1.2.1.3.3

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

ステップ 2.1.2.1.3.4

$- 2$ を $h$ の左に移動させます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 \cdot h - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

ステップ 2.1.2.1.3.5

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

ステップ 2.1.2.1.4

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 2.1.2.1.4.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

ステップ 2.1.2.1.4.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

ステップ 2.1.2.1.5

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 4) + 1$

ステップ 2.1.2.1.6

$- 2 h$ から $2 h$ を引きます。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4 h - 4 x + 4) + 1$

ステップ 2.1.2.1.7

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

ステップ 2.1.2.1.8

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

ステップ 2.1.2.1.8.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

ステップ 2.1.2.1.8.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 2 \cdot 4 + 1$

ステップ 2.1.2.1.8.4

$2$ に $4$ をかけます。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

ステップ 2.1.2.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$ です。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$2 x^{2}$ を移動させます。

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

ステップ 2.2.2

$4 h x$ と $2 h^{2}$ を並べ替えます。

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2} - 8 x + 9)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

ステップ 4.1.2.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 9}{h}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 9}{h}$

ステップ 4.1.3

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 0 + 8 x - 9}{h}$

ステップ 4.1.4

$2 h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 8 x - 9}{h}$

ステップ 4.1.5

$- 8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0 + 9 - 9}{h}$

ステップ 4.1.6

$2 h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 9 - 9}{h}$

ステップ 4.1.7

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0}{h}$

ステップ 4.1.8

$2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h}{h}$

ステップ 4.1.9

$2 h$ を $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.9.1

$2 h$ を $2 h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 h \cdot h + 4 h x - 8 h}{h}$

ステップ 4.1.9.2

$2 h$ を $4 h x$ で因数分解します。

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) - 8 h}{h}$

ステップ 4.1.9.3

$2 h$ を $- 8 h$ で因数分解します。

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

ステップ 4.1.9.4

$2 h$ を $2 h \cdot h + 2 h (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

ステップ 4.1.9.5

$2 h$ を $2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$2 (h + 2 x - 4)$ を $1$ で割ります。

$2 (h + 2 x - 4)$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$2 h + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 h + 4 x + 2 \cdot - 4$

ステップ 4.3.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$2 h + 4 x - 8$

ステップ 4.4

$2 h$ と $4 x$ を並べ替えます。

$4 x + 2 h - 8$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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