微分積分学準備例

Given the function $h (x) = - x^{2} + x + 4$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 1 \leq x \leq 5$

ステップ 1

$h (x) = - x^{2} + x + 4$ を方程式で書きます。

$y = - x^{2} + x + 4$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

ステップ 2.2

式 $y = - x^{2} + x + 4$ を $f (5)$ と $f (- 1)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

括弧を削除します。

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 1 \cdot 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.2.3.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1 + 2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.3.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{3} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 1 - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.4

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 2 + 4)}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.5

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 1 \cdot 2}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.7

$- 25$ と $5$ をたし算します。

$\frac{- 20 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.8

$- 20$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 16 - 2}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.2.9

$- 16$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 18}{5 - (- 1)}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 18}{5 + 1}$

ステップ 3.3.2

$5$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 18}{6}$

ステップ 3.4

$- 18$ を $6$ で割ります。

$- 3$

微分積分学準備 例

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