微分積分学準備例

$f (x) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x - h}$

ステップ 2.1.2.2

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$f (x + h) = 2 (\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}})$

ステップ 2.1.2.3

$2$ と $\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

ステップ 2.1.2.4

最終的な答えは $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ です。

$\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} - (\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}})}{h}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}}{h}$

ステップ 4.2

$- \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

ステップ 4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ に $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h} \cdot 2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

ステップ 4.3.2

指数を足して $2^{- x - h}$ に $2^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h - x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

ステップ 4.3.2.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

ステップ 4.3.3

$\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ に $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x} \cdot 2^{- h - x}}}{h}$

ステップ 4.3.4

指数を足して $2^{- x}$ に $2^{- h - x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x - h - x}}}{h}$

ステップ 4.3.4.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

ステップ 4.5

因数分解した形で $\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}$ を書き換えます。

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ステップ 4.5.1

$2$ を $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1.1

$2$ を $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

ステップ 4.5.1.2

$2$ を $- 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

ステップ 4.5.1.3

$2$ を $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

ステップ 4.5.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.5.2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}$ を約分します。

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ステップ 4.5.2.1.1

$2^{- 2 x - h}$ を $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

ステップ 4.5.2.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

ステップ 4.5.2.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

ステップ 4.5.2.1.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{1}}{h}$

ステップ 4.5.2.2

$2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

ステップ 4.6

各項を簡約します。

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ステップ 4.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x) - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

ステップ 4.6.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

ステップ 4.6.1.3

$- - h$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + 1 h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

ステップ 4.6.1.3.2

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

ステップ 4.6.2

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

ステップ 4.6.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x) - - h})}{h}$

ステップ 4.6.3.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x - - h})}{h}$

ステップ 4.6.3.3

$- - h$ を掛けます。

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ステップ 4.6.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + 1 h})}{h}$

ステップ 4.6.3.3.2

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + h})}{h}$

ステップ 4.6.4

$- h - x + 2 x + h$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.6.4.1

$- h$ と $h$ をたし算します。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x + 0})}{h}$

ステップ 4.6.4.2

$- x + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x})}{h}$

ステップ 4.6.5

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{x})}{h}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例