微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ ; $[- 8, - 4]$

ステップ 1

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (- 4) - f (- 8)}{(- 4) - (- 8)}$

ステップ 2.2

式 $y = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ を $f (- 4)$ と $f (- 8)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{(- 4) + 1}) - (\frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{(- 8) + 1})}{(- 4) - (- 8)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $(- 4 + 1) (- 8 + 1)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}}{- 4 - (- 8)}$ に $\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}$ をかけます。

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1)} \cdot \frac{\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}}{- 4 - (- 8)}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) (\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) (- 4 - (- 8))}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 4 + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.3.2

$- 8 + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.3.2.2

$- 8 + 1$ を $(- 4 + 1) (- 8 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 8 + 1) (- 4 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 8 + 1) (- 4 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 7 (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 7 (2 \cdot 16 - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.2.2

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 7 (32 - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.3

$32$ から $5$ を引きます。

$\frac{- 7 \cdot 27 + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.4

$- 7$ に $27$ をかけます。

$\frac{- 189 + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.5

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 189 - 3 (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.6

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 189 - 3 (- (2 \cdot 64 - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.6.2

$2$ に $64$ をかけます。

$\frac{- 189 - 3 (- (128 - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.7

$128$ から $5$ を引きます。

$\frac{- 189 - 3 (- 1 \cdot 123)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.8

$- 3 (- 1 \cdot 123)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.8.1

$- 1$ に $123$ をかけます。

$\frac{- 189 - 3 \cdot - 123}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.8.2

$- 3$ に $- 123$ をかけます。

$\frac{- 189 + 369}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.4.9

$- 189$ と $369$ をたし算します。

$\frac{180}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{180}{- 3 (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.5.2

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{180}{- 3 \cdot - 7 \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.5.3

$- 3 \cdot - 7 \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 3.5.3.1

$- 3$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{180}{21 \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.5.3.2

$21$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{180}{- 84 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.5.4

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{180}{- 84 - 3 (- 8 + 1) (- (- 8))}$

ステップ 3.5.5

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{180}{- 84 - 3 \cdot - 7 (- (- 8))}$

ステップ 3.5.6

$- 3 \cdot - 7 (- (- 8))$ を掛けます。

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ステップ 3.5.6.1

$- 3$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{180}{- 84 + 21 (- (- 8))}$

ステップ 3.5.6.2

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{180}{- 84 + 21 \cdot 8}$

ステップ 3.5.6.3

$21$ に $8$ をかけます。

$\frac{180}{- 84 + 168}$

ステップ 3.5.7

$- 84$ と $168$ をたし算します。

$\frac{180}{84}$

ステップ 3.6

$180$ と $84$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$12$ を $180$ で因数分解します。

$\frac{12 (15)}{84}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$12$ を $84$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot 15}{12 \cdot 7}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot 15}{12 \cdot 7}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{15}{7}$

微分積分学準備 例

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