微分積分学準備例

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ を方程式で書きます。

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ として書き換えます。

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

ステップ 3.2

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sqrt[5]{y + 7}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $5$ 乗します。

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{y + 7}$ を ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

${(\frac{x}{5})}^{5}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

積の法則を $\frac{x}{5}$ に当てはめます。

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$5$ を $5$ 乗します。

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ が $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

積の法則を $5 \sqrt[5]{x + 7}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.1.2

$5$ を $5$ 乗します。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.1.3

${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ を $x + 7$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x + 7}$ を ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.1.3.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.1.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.1.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.2

$3125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

ステップ 5.2.3.2.2

$x + 7$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

ステップ 5.2.4

$x + 7 - 7$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$7$ から $7$ を引きます。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

ステップ 5.3.3

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

ステップ 5.3.4

$\frac{x^{5}}{3125}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

ステップ 5.3.5

$3125$ を $5^{5}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

ステップ 5.3.6

$\frac{x^{5}}{5^{5}}$ を ${(\frac{x}{5})}^{5}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

ステップ 5.3.7

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

ステップ 5.3.8

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

ステップ 5.3.8.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ は $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

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