微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 20}{x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36}$

ステップ 1

$\frac{x^{2} + x - 20}{x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 4 x^{2}) - 9 x + 36 = 0$

ステップ 2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4) = 0$

ステップ 2.1.2

最大公約数 $x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 4) (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 2.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x - 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x - 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 3, 3$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 3, - 3, 4}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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