微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ を ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

$9$ に $- 9$ をかけます。

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

簡約します。

$9 y - 81 = x^{3}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $81$ を足します。

$9 y = x^{3} + 81$

ステップ 3.4.2

$9 y = x^{3} + 81$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$9 y = x^{3} + 81$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

$81$ を $9$ で割ります。

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ が $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ を $9 (x - 9)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ を ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.1.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.3

$9$ に $- 9$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.4

$9$ を $9 x - 81$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.3.1.4.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.4.2

$9$ を $- 81$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.1.4.3

$9$ を $9 x + 9 \cdot - 9$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

ステップ 5.2.3.2.2

$x - 9$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

ステップ 5.2.4

$x - 9 + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

ステップ 5.3.3

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{x^{3}}{9}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

ステップ 5.3.4

$9$ と $\frac{x^{3}}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

ステップ 5.3.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{9 x^{3}}{9}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

ステップ 5.3.5.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

ステップ 5.3.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.3.6

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ は $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

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