微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

ステップ 1

式 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ が未定義である場所を求めます。

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

ステップ 2

$\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $\ln (2)$ 、 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $\ln (2)$ としているので、 $x = \ln (2)$ は垂直漸近線です。

$x = \ln (2)$

ステップ 3

$\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $\ln (3)$ 、 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $\ln (3)$ としているので、 $x = \ln (3)$ は垂直漸近線です。

$x = \ln (3)$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = \ln (2), \ln (3)$

ステップ 5

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

極限を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

ステップ 5.1.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

ステップ 5.1.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

ステップ 5.2

指数 $2 x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{2 x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

ステップ 5.3

極限を求めます。

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ステップ 5.3.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

ステップ 5.3.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

ステップ 5.4

指数 $2 x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{2 x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

ステップ 5.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

ステップ 5.6

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

ステップ 5.7

極限を求めます。

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ステップ 5.7.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

ステップ 5.7.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$3 \cdot 0 + 2$ と $0 - 5 \cdot 0 + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

$0$ を $- 1 (0)$ に書き換えます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

ステップ 5.7.2.1.2

$- 1$ を $- 5 \cdot 0$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

ステップ 5.7.2.1.3

$- 1$ を $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

ステップ 5.7.2.1.4

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

ステップ 5.7.2.1.5

$- 1$ を $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

ステップ 5.7.2.1.6

項を並べ替えます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

ステップ 5.7.2.1.7

$2$ を $3 \cdot 0$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

ステップ 5.7.2.1.8

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

ステップ 5.7.2.1.9

$2$ を $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

ステップ 5.7.2.1.10

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.10.1

$2$ を $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

ステップ 5.7.2.1.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

ステップ 5.7.2.1.10.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

ステップ 5.7.2.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.7.2.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

ステップ 5.7.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

ステップ 5.7.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.7.2.3.1

$0$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

ステップ 5.7.2.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

ステップ 5.7.2.3.3

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

ステップ 5.7.2.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 6

水平漸近線のリスト：

$y = \frac{1}{3}$

ステップ 7

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 8

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = \ln (2), \ln (3)$

水平漸近線： $y = \frac{1}{3}$

斜めの漸近線がありません

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例