微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

ステップ 1

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ で和が $b = 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$14$ を $14 x$ で因数分解します。

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$14$ を $- 1$ プラス $15$ に書き換える

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $5 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$5 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$5 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $5 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 x = 1$

ステップ 2.4.2.2

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{5}$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{5}, - 3$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $93$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間 $- 3 < x < \frac{1}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- 3 < x < \frac{1}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.3

区間 $x > \frac{1}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > \frac{1}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $84$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ 偽

$x > \frac{1}{5}$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ 偽

$x > \frac{1}{5}$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $x \geq \frac{1}{5}$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ を ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

簡約します。

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ で和が $b = 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.1

$14$ を $14 x$ で因数分解します。

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

ステップ 4.3.1.1.2

$14$ を $- 1$ プラス $15$ に書き換える

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

ステップ 4.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

ステップ 4.3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

ステップ 4.3.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

ステップ 4.3.1.3

最大公約数 $5 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4.3.3

$5 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$5 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 1 = 0$

ステップ 4.3.3.2

$x$ について $5 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 x = 1$

ステップ 4.3.3.2.2

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 4.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 4.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{5}$

ステップ 4.3.4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4.3.5

最終解は $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{5}, - 3$

ステップ 4.4

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = - 3$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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