微分積分学準備例

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$ として書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\sqrt[3]{y - 6} = 4 x$

ステップ 3.4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y - 6}}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 3.5

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y - 6}$ を ${(y - 6)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1.1

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y - 6)}^{1} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2

簡約します。

$y - 6 = {(4 x)}^{3}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

${(4 x)}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$y - 6 = 4^{3} x^{3}$

ステップ 3.5.3.1.2

$4$ を $3$ 乗します。

$y - 6 = 64 x^{3}$

ステップ 3.6

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 64 x^{3} + 6$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ が $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})}^{3} + 6$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x - 6}}^{3}}{4^{3}}) + 6$

ステップ 5.2.3.2

${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ を $x - 6$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 6}$ を ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}}) + 6$

ステップ 5.2.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}}) + 6$

ステップ 5.2.3.2.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

ステップ 5.2.3.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

ステップ 5.2.3.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

ステップ 5.2.3.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

ステップ 5.2.3.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

ステップ 5.2.3.4

$64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

ステップ 5.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x - 6 + 6$

ステップ 5.2.4

$x - 6 + 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (64 x^{3} + 6)$ の値を求めます。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{(64 x^{3} + 6) - 6}}{4}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$6$ から $6$ を引きます。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3} + 0}}{4}$

ステップ 5.3.3.2

$64 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3}}}{4}$

ステップ 5.3.3.3

$64 x^{3}$ を ${(4 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(4 x)}^{3}}}{4}$

ステップ 5.3.3.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 5.3.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 5.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (64 x^{3} + 6) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ は $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

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