微分積分学準備例

vertices at $(6, 0)$ , $(- 6, 0)$ ; foci at $(8, 0)$ , $(- 8, 0)$

ステップ 1

与えられた頂点の中点を求めることで、中心 $(h, k)$ を求めます。

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ステップ 1.1

中点の公式を利用して線分の中点を求めます。

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

ステップ 1.2

$(x_{1}, y_{1})$ と $(x_{2}, y_{2})$ の値に代入します。

$(\frac{- 6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.3

$- 6 + 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$(\frac{2 \cdot - 3 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.3.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$(\frac{2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.3.3

$2$ を $2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.3.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 (1)}, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.3.4.2

共通因数を約分します。

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.3.4.3

式を書き換えます。

$(\frac{- 3 + 3}{1}, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.3.4.4

$- 3 + 3$ を $1$ で割ります。

$(- 3 + 3, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.4

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$(0, \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 1.5

$0 + 0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$(0, \frac{2 (0) + 0}{2})$

ステップ 1.5.2

$2$ を $0$ で因数分解します。

$(0, \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2})$

ステップ 1.5.3

$2$ を $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ で因数分解します。

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2})$

ステップ 1.5.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (1)})$

ステップ 1.5.4.2

共通因数を約分します。

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 \cdot 1})$

ステップ 1.5.4.3

式を書き換えます。

$(0, \frac{0 + 0}{1})$

ステップ 1.5.4.4

$0 + 0$ を $1$ で割ります。

$(0, 0 + 0)$

ステップ 1.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$(0, 0)$

ステップ 2

中心と与えられた焦点と頂点をグラフにします。点が水平にあるので、双曲線は左右に開で、双曲線の公式は $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ になります。

ステップ 3

頂点と中心点の距離を求めることで、 $a$ を導きます。

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ステップ 3.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 3.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$a = \sqrt{{((- 6) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 6$ から $0$ を引きます。

$a = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$0$ から $0$ を引きます。

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

ステップ 3.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$a = \sqrt{36 + 0}$

ステップ 3.3.5

$36$ と $0$ をたし算します。

$a = \sqrt{36}$

ステップ 3.3.6

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$a = \sqrt{6^{2}}$

ステップ 3.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a = 6$

ステップ 4

焦点と中心点の距離を求めることで、 $c$ を導きます。

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ステップ 4.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 4.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$c = \sqrt{{((- 8) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 8$ から $0$ を引きます。

$c = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- 8$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{64 + {(0 - 0)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$0$ から $0$ を引きます。

$c = \sqrt{64 + 0^{2}}$

ステップ 4.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$c = \sqrt{64 + 0}$

ステップ 4.3.5

$64$ と $0$ をたし算します。

$c = \sqrt{64}$

ステップ 4.3.6

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 4.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$c = 8$

ステップ 5

$a$ と $c$ の値を $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ に代入し、 $b^{2}$ について解きます。

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ステップ 5.1

$8$ を $c$ に、 $6$ を $a$ に代入します。

$8^{2} = 6^{2} + b^{2}$

ステップ 5.2

方程式を $6^{2} + b^{2} = 8^{2}$ として書き換えます。

$6^{2} + b^{2} = 8^{2}$

ステップ 5.3

$6$ を $2$ 乗します。

$36 + b^{2} = 8^{2}$

ステップ 5.4

$8$ を $2$ 乗します。

$36 + b^{2} = 64$

ステップ 5.5

$b^{2}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.5.1

方程式の両辺から $36$ を引きます。

$b^{2} = 64 - 36$

ステップ 5.5.2

$64$ から $36$ を引きます。

$b^{2} = 28$

ステップ 6

求めた値を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 6.1

求めた値を公式に代入します。

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

ステップ 6.2

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.2.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

ステップ 6.2.2

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

ステップ 6.3

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

ステップ 7

微分積分学準備 例

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