微分積分学準備例

$f (x) = 2 x + 1$ $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ Find: $g (f (x))$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$g (f (x))$

ステップ 2

$g$ に $f$ の値を代入し、 $g (2 x + 1)$ の値を求めます。

$g (2 x + 1) = {(2 x + 1)}^{2} + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

${(2 x + 1)}^{2}$ を $(2 x + 1) (2 x + 1)$ に書き換えます。

$g (2 x + 1) = (2 x + 1) (2 x + 1) + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 1) = 2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1) + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 1) = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1) + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 1) = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$g (2 x + 1) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$g (2 x + 1) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$g (2 x + 1) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 5 (2 x + 1) + 10$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 5 (2 x) + 5 \cdot 1 + 10$

ステップ 3.5

$2$ に $5$ をかけます。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 10 x + 5 \cdot 1 + 10$

ステップ 3.6

$5$ に $1$ をかけます。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 10 x + 5 + 10$

ステップ 4

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$4 x$ と $10 x$ をたし算します。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 14 x + 1 + 5 + 10$

ステップ 4.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $5$ をたし算します。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 14 x + 6 + 10$

ステップ 4.2.2

$6$ と $10$ をたし算します。

$g (2 x + 1) = 4 x^{2} + 14 x + 16$

微分積分学準備 例

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